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Bau von unbekannten mathematischen Zeichengeräten

In der Schule kommen fast ausschließlich Geodreieck, Lineal und Zirkel zum Einsatz – und das sind auch die bekannten Zeichengeräte. Parabelschablone? Selten. Kurvenlineal? Fast gar nicht.
Vermutlich sind doch alle weiteren Zeichengeräte unbekannt, weil man sie kaum bzw. gar nicht braucht, oder? Das Zeichnen erledigt im schlimmsten Fall der Computer.
Aber vielleicht sind auch alle weiteren Zeichengeräte unbekannt, weil die Zusammenhänge, die diese Geräte funktionieren lassen, eher unbekannt sind.
Ein Versuch: Eine Parabel? Das ist der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion!
Nein, Moment …  Eine Parabel ist ein geometrisches Objekt!
Die geometrischen Bedingungen, die jeden Punkt der Parabel eindeutig festlegen, können in die Konstruktion eines Zeichengerätes übersetzt werden. Ähnliches gilt für die Ellipse und die Hyperbel.
Wir haben viel Mathematik gemacht ohne auch nur ein Mal irgend etwas zu rechnen – und letztlich hat es einfach Spaß gemacht zu sehen, wie eine Maschine ganz automatisch das zeichnet, was wir normalerweise mühsam mithilfe einer Wertetabelle erledigen.
Los ging es mit Backpapier. Die Schülerinnen und Schüler haben Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln gefaltet und haben dabei deren geometrischen Definitionen benutzt.

Ellipse mit ihren beiden Brennpunkten falten

Parabel mit ihrem Brennpunkt falten

beide Hyperbeläste mit den Brennpunkten falten

Die ‚Verwandtschaft‘ von Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel – sie alle sind Kegelschnitte – haben wir danach direkt mit Styroporkegeln sichtbar gemacht.

Kegelschnitte


Kegelschnitt Ellipse

Kegelschnitt Kreis

Kegelschnitt Parabel

Kegelschnitt Hyperbel

Die erste Zeichnung einer Ellipse entstand am ersten Tag mit der Gärtnerkonstruktion:

Gärtnerkonstruktion

In dieser Konstruktion ist die geometrische Definition der Ellipse (die Summe der Abstände zu den beiden Brennpunkten ist konstant) direkt sichtbar.
Ab dem zweiten Tag wurde gebastelt, d.h. gesägt, gefeilt, gebohrt, geschraubt, geklebt, geschnitten, gehämmert …
Mit viel Fleiß und Präzision, Rückschlägen und Frust auch Lob und Maßregelungen gelangen den Schülern großartige Zeichengeräte.

Ellipsographen

Dieses Zeichengerät ist eine spezielle Version eines Spirographen – der äußere Kreis muss exakt den doppelten Umfang des inneren Kreises besitzen. Das Abrollen des inneren Kreises auf dem äußeren Kreis wird durch Zahnriemen erreicht.

Dieser Mechanismus ist das Trammel des Archimedes, er zeichnet automatisch die Form einer Ellipse.

Die Leiste, mit der der Stift geführt wird, ist an zwei Gleitern fixiert, die in den zueinander senkrechten Schienen laufen.

Parabolographen

Mit dieser Rautenkonstruktion wird erreicht, dass der Abstand aller Punkte der Parabel stets den gleichen Abstand zum Brennpunkt und zur Leitlinie haben – das ist die Definition der Parabel. Der Stift wird im Schnittpunkt zweier
Schienen auf der Diagonalen der Raute geführt. Als Brennpunkt haben wir eine kleine Stange genommen, die an einem Magneten befestigt ist. Auf dem Untergrund haben wir eine Blechleiste angebracht, auf der wir den Brennpunkt in unterschiedlichen Positionen fixieren können.
Mit dieser Konstruktion wird auch die Voraussetzung für die Parabel erfüllt: Der Faden wird an der Kunststoffleiste angebracht und so abgemessen, dass er bis zur Holzstange – der Führungslinie – reicht. Nun wird der Faden mit einer Öse am Brennpunkt befestigt. Wird der Stift nun so geführt, dass der Faden gespannt ist, ist der Abstand des Stiftes, d.h. der gezeichneten Parabel, zum Brennpunkt und zur Führungslinie gleich.
Bei diesem Zeichengerät muss der Stift ebenfalls so geführt werden, dass der Faden gespannt ist. Dass der Stift nun automatisch eine nach unten geöffnete Parabel zeichnet, lässt sich mit dem Satz des Pythagoras zeigen

Hyperbolographen

Über ähnliche Dreiecke lässt sich mit den vorgegebenen Abständen in dieser Konstruktion zeigen, das der Stift auf einem Hyperbelast geführt wird.
Dieser Zusammenhang wurde in der Projektwoche jedoch nicht besprochen.
Viel einfacher ist diese Konstruktion zu verstehen: Der Stift zeichnet automatisch eine Hyperbel, wenn er bei gespanntem Faden an der Leiste entlang geführt wird. Die Differenz der Abstände zu den beiden Brennpunkten – in einem Brennpunkt ist die Leiste drehbar befestigt, im anderen ist der Faden befestigt – ist immer gleich.

Storchschnabel

Als letztes Zeichengerät wurde von zwei Schülerinnen ein so genannter Storchschnabel oder Pantograph gebastelt. Mit ihm lassen sich vorhandene Zeichnungen in einem größeren Maßstab erzeugen.

 

+++ News +++

15.08. Elternabende der Klassen 5, 6 & 7
20.08. Vollversammlung aller Schüler*innen
30.08. Elternabende der Klassen 8, 9 &10
11.09. Personalversammlung 13:45 – 14:30
11.09. Gesamtkonferenz 14:30 – 17:00
11.09. Elternbeitratssitzung 18:00 – 20:00